نگاهی به زندگی فیبوناچی و خدمات او به دنیای ریاضی؛ از اعداد مدرن تا نسبت طلایی

edame
نوامبر 13, 2019 0 Comment

فیبوناچی یکی از مشهورترین اسما در ریاضیه و بعضی اونو بزرگترین ریاضیدان قرون وسطی می دونن. اون سیستم اعداد مدرن رو به غرب معرفی کرد که در آخر موجب کامل شدن علم ریاضی شد. علاوه بر این سری فیبوناچی رو ارائه داد که نشونه های اون در جای جای طبیعت مشاهده می شه و حتی در دنیای طراحی مدرن کاربرد داره.

فیبونناچی در حدود سالای ۱۱۷۰ تا ۱۱۷۵ در پیزا ایتالیا به دنیا اومد البته نام اصلی اون «لئوناردو بوناچی» بود. بعدا به لئوناردوی پیزا و در آخر به فیبوناچی مشهور شد. با این حال در دوران زندگی خود به فیبوناچی شهره نبود.

پدر اون، «گوگلیمو بوناچی» مقامی رسمی در بخش تجارت بین پیزا و شمال آفریقا بود. پدر زمان زیادی رو در بندر عربی بجایه در الجزایر سپری کرده بود. کارایی که اون در مورد مالیاتای تجاری انجام می داد اونو به این باور رساند که آینده آدمایی که اعداد رو به طور کامل درک می کنن روشن میشه. علاوه بر این پسرش، لئوناردو به مدت کوتاهی در شهر بجایه به تحصیل ریاضیات مشغول بود.

لئوناردو در جستجوی راه های جدید

فیبوناچی جوون وقتی که ریاضیات رو از عربا آموخت عاشق این علم شد. در اون زمان عربا بر خلاف رومیا از راه متفاوتی واسه نمایش دادن اعداد استفاده می کردن. رومیا سیستم پیچیده تری داشتن که براساس اون اعداد به صورت V ،IV ،III ،II ،I و … نشون داده می شد. واسه هزاران سال بود که همین سیستم اعداد در اروپا مورد استفاده قرار می گرفت.

فیبوناچی

در واقع ریاضیات غربی بعد از سقوط یونان باستان به خواب عمیقی فرو رفته بود. این علم در یونان باستان نورانی ظاهر شده بود اما سیستم اعداد یونانی مانعی در راه پیشرفت اون بود. در واقع همونجوریکه در سیستم اعداد رومی هم گفته شد، یونانیا از حروف الفبا واسه نشون دادن اعداد استفاده می کردن.

واسه اینکه پیچیدگی این سیستم رو درک کنین مثالی می زنیم: با به کار گیری اعداد مدرن میشه خیلی راحت ۱۷ رو در ۱۹ ضرب کرد. حالا تصور کنین واسه این منظور از Q و S که هفدهمین و نوزدهمین حروف الفبا هستن استفاده کنین. در سیستم اعداد رومی اینجور ضربی به صورت XVII × XIX نشون داده می شه. تصور به کار گیری هزار یا حتی ۱۰ هم عجیب به نظر می رسه. اینطوری زندگی با این اعداد بسیار پیچیده بود.

مشکل دیگه این بود که سیستمای اعداد رومی و یونانی قدیمی بدون صفر بودن که محاسبات ریاضی رو بیشتر از قبل مشکل می کرد و در عین حال پیشرفتای بیشتر در بخش ریاضی رو هم با مشکل مواجه کرده بود.

فیبوناچی اما خود رو در سیستم اعداد جدید که در بجایه آموخته بود غوطه ور کرد و دریافت که در این سیستم در مقایسه با اعداد رومی مزیتای زیادی داره. اونم اینکه در سراسر مدیترانه از یونان، سیسیل و جنوب فرانسه تا سوریه سفر کرد و در مورد ریاضی بیشتر آموخت.

فیبوناچی

سیستم اعدادی که فیبوناچی عاشقش شده بود از هندوستان سرچشمه گرفته بود. در تصویر نمایش اعداد صفر تا ۹ در سیستم اعداد هندی رو مشاهده می کنین. در این سیستم اعداد ۰، ۲ و ۳ بسیار مثل همین اعداد در سیستم مدرن هستن.

در ادامه اعداد به غرب رفتن و به ایران رسیدن، بعد از راه خاور میانه به آفریقا راه پیدا کردن و در آخر راه خود رو به غرب باز کردن. البته شکل ظاهری اونا هم تغییراتی رو تجربه کرد. در اروپا این سیستم اعداد رو به نام «اعداد عربی» نامیدند اما امروزه «سیستم اعداد هندو عربی» میگن.

کتاب حساب فیبوناچی، شروع گسترش سیستم اعداد مدرن

به باور فیبوناچی سیستم اعداد هندی مزیت کلی ای در مقایسه با سیستم رومی داشت و اروپایی هم باید از این سیستم استفاده می کردن. در سال ۱۲۰۲ اون «کتاب حساب» رو منتشر کرد و با اون گسترش به کار گیری سیستم اعداد جدید در غرب دنیا رو شروع کرد. ۲۶ سال بعد در ۱۲۲۸ نسخه به روز شده ای از کتاب رو منتشر کرد.

فیبوناچی

راه گسترش سیستم اعداد مدرن به طرف غرب

کتاب حساب چگونگی محاسبات در تجارت، امور مالی و ریاضیات محض رو براساس سیستم اعداد جدید تشریح می کرد.

کتاب فیبوناچی شروع کننده تغییراتی جدید در افکار اروپاییا بود اما عمومی شدن به کار گیری این اعداد روند طولانی (حتی پس از فوت فیبوناچی) رو سپری کرد و پذیرش عمومی اون تنها پس از ۲ اتفاق شروع شد. یکی از اونا اختراع سیستم چاپ گونتبرگ در سال ۱۴۴۰ بود و دیگری به سقوط قسطنطنیه در سال ۱۴۵۳ باز می گشت.

سقوط قسطنطنیه موجب شد پناهجویان بسیاری به سمت ایتالیا بیان. خیلی از این افراد متون یونانی قدیمی رو با خود به همراه داشتن. بعضی از این متون واسه چند سال در قسطنطنیه دور از دسترس بودن. آزاد شدن همین متون به مرور موجب شدن مقاومتا در برابر سیستم اعداد جدید در ایتالیا کاهش پیدا کنه.

فیبوناچی

تصویری از «گریگور رایش» مربوط به سال ۱۵۰۳٫ فردی که در سمت چپ نشسته از سیستم اعداد مدرن استفاده می کنه و خوشحاله در حالی که فرد سمت راست که فیثاغورثه از یه چرتکه استفاده می کنه و البته ناراحت هم به نظر می رسه. در میونه تصویر زنی دیده می شه که روی لباسش نقوشی از اعداد جدید رو داره.

کتاب حساب فیبوناچی هم اینکه اثرات مهمی بر تجارت و امور مالی در اروپا گذاشت. در بین کشورای عرب زبون اما سیستم اعداد مدرن فقط به وسیله محققان و ریاضیدانا استفاده می شد. فیبوناچی که متوجه مزیتای این سیستم اعداد شده بود چندین بخش از کتاب خود رو به تشریح محاسبات سود و تبدیل ارزها تخصیص داد. در واقع میشه گفت که اثر کتاب در دنیای تجارت بیشتر از دنیای علم بود.

از بخشایی که در کتاب به اونا پرداخت شده بود میشه به این موارد اشاره کرد:

  • اعداد جدید
  • ضرب، جمع، تفریق و تقسیم
  • محاسبات کسری
  • قوانین مالی
  • حسابداری
  • ریشه های دوم و سوم
  • معادلات درجه دوم
  • تناسب
  • قوانین جبری
  • تصاعد

بخش مربوط به زور در کتای حساب فیبوناچی از اصولی که به وسیله خوارزمی ریاضیدان ایرونی، ابوکاکل از مصر و ابوبکر کرجی از بغداد ارائه شده بود، الهام گرفته بود.

معمای زاد و ولد خرگوش فیبوناچی

یکی از مسائل دیگه که به وسیله فیبوناچی مطرح شده بود، مسئله خرگوش بود که بعدا موجب به وجود اومدن سری فیبوناچی معروف شد. فیبوناچی میخواس بررسی کنه که اگه یه جفت خرگوش نر و ماده داشته باشین، اندازه زاد و ولد اونا چیجوری میشه.

تصور کنین خرگوشا همین حالا به دنیا اومده ان و پس از یه ماه بالغ می شن، دوران بارداری خرگوش ماده یک ماه س و وقتی که به این سن برسه شک نداشته باشینً باردار می شه. پس از اون یه خرگوش ماده و یه نر به دنیا میان و البته خرگوشا هیچوقت نمی میرن. اینطوری پس از یه سال چه تعداد خرگوش ماده و چه تعداد نر داریم؟

فیبوناچی

اون Fn رو برابر با تعداد جفتا در ماه n اُم در نظر گرفت. در نتیجه در ماه اول یه، در ماه دوم، ۲ عدد و به همین ترتیب رو میشه در نظر داشت. اما یه موردی رو نباید از یاد برد. هر جفت خود می تونه پس از یه ماه جفت دیگری رو به دنیا آورد. اینطوری تعداد جفتای جدید برابر تعداد جفتای دو ماه قبل می شه که این اندازه با Fn-1 نشون داده می شه. در نتیجه در هر ماه تعداد جفتای کل برابر با Fn-1 + Fn-2 میشه.

اگه مقادری اولیه رو برابر با ۱ واسه F1 و ۲ واسه F2 در نظر بگیریم میشه تعداد جفتا رو پس از یه سال یعنی واسه ۱۲ ماه (F12) به دست آورد که برابر با ۲۳ می شه. البته توافق شده که دو مقدار اولیه ۱و ۱ (به جای ۱و ۲) نوشته شه.

اینطوری میشه سری فیبوناچی رو این جور تعریف کرد:

۱-۱-۲-۳-۵-۸-۱۳-۲۱-۳۴-۵۵-۸۹-۱۴۴-۲۳۳

و این سری به همین ترتیب تا بی انتها ادامه پیدا می کنه.

مسئله زنبورها

مسئله خرگوشا یه موضوع ساختگی بود اما سری فیبوناچی در دنیای واقعی در مورد جمعیت هم کاربرد داره. مثلا میشه به زنبورها اشاره کرد. واسه اینکه رابطه سری فیبوناچی به چگونگی افزایش جمعیت زنبورها رو درک کنین اول بیایید چگونگی تولد شکلای جور واجور اونا رو بررسی کنیم.

در بین یه گروه از زنبورهای عسل یه نوع ماده هست که اونو با نام ملکه می شناسیم. البته ماده های دیگری هم هستن که در رده زنبورهای کارگر به حساب میان و توانایی تخمگذاری ندارن. زنبورهای نر هم کار نمی کنن، زهر هم ندارن و شهد و گرده هم جمع آوری نمی کنن. این زنبورها تنها زنبور ملکه رو بارور می کنن.

زنبورهای نر به واسطه تخمای بارور نشده ملکه به دنیا میان و اینطوری هیج بابایی ندراند. اما همه زنبورهای ماده هم پدر دارن و هم مادر. تعدادی کمی از این زنبورهای ماده به واسطه تغذیه از شاه انگبین یا غذای ملکه، خود به ملکه ای تبدیل می شن که می تونه کلونی جدیدی از زنبورها رو تشکیل بده.

پس به طور خلاصه باید گفت که زنبورهای ماده پدر و مادر دارن در حالی که نرها تنها مادر دارن. بیایید نگاهی به درخت زاد و ولد زنبورها داشته باشیم.

فیبوناچی

نمودار زاد و ولد زنبور عسل در یکی بودن با سری فیبوناچی

همونجوریکه در نمودار بالا مشاهده می کنین یه زنبور نر (تنها M در پایین جدول) داریم که از یه مادر (M بالای اون) متولد شده و هیچ بابایی نداره. پس تا اینجا ۲ عدد اول سری تکمیل شده: ۱ و ۱٫

اما بالاتر از اون که بریم زنبور ماده باید دو والد داشته باشه، هم پدر و هم مادر. یعنی در این رده به دو زنبور می رسیم که با قانون سری فیبوناچی یعنی حاصل جمع دو عدد قبلی (۱ و ۱) هماهنگه. می تونین این سری رو تا بالاتر هم ادامه بدین و مشاهده می کنین که تعداد زنبورهای هر نسل از جمع زنبورهای دو نسل بعدی به دست میان. در این شکل تا ۶ نسل نشون داده شده.

مارپیچ طلایی فیبوناچی

فیبوناچی

الگوی افزیش جمعیت زنبورها تنها موردی نیس که نشون از هماهنگی طبیعت با سری فیبوناچی داره. شاید باورتون نشه اما گستردگی این هماهنگی به حدیه که در جای جای طبیعت می تونین اونو در ظاهر اسپیرال طلایی ببینین.

مثلا باید به پوسته صدفای حلزونی شکل اشاره کرد. واسه اینکه این رابطه رو درک کنین اول با یه شکل ساده شروع می کنیم. در اول با دو مربع کنار هم به عرضای ۱ واحد شروع می کنیم. در کنار این دو یه مربع با عرض ۲ قرار می دیم و بعد در کنار این سه مربعی با عرض ۳ و الی آخر.

اگه هر مربع یه چهارم از یه دایره با شعاعی به اندازه ضلع مربع رو تشکیل بده و به همین ترتیب با بزرگتر شدن شکل کلی قوسای دایره ها رو هم بزرگتر کنیم با شکلی مشابه صدف مارپیچی مواجه میشیم که کاملً براساس سری فیبونایچی تولید شده. اگه گیج شدین کافیه نگاهی به شکل زیر بندازین.

فیبوناچی

می تونین این مربعا و در ادامه ربع دایره ها رو تا بی انتها ادامه بدین تا شکل مارپیچی منظمی رو بسازین. سری فیبوناچی همینطوری در گیاهان هم دیده می شه. گل آفتابگردان براساس سری فیبوناچی تا اعداد ۳۴، ۵۵ و حتی ۸۹ رشد می کنه.

دفعه بعد که یه گل آفتابگردان رو دیدید به این مورد بیشتر دقت کنین و با مشاهده سری فیبوناچی در اون حیرت زده شید. در گل آفتابگردان منحنیا در هر دو جهت ساعت گرد و پاد ساعت گرد درست می شن.

فیبوناچی

در میوه کاج هم می تونین نشونه های سری فیبوناچی رو ببینین. همونجوریکه در شکل زیر هم مشاهده می کنین تعداد دایره داخلی منحنیای ساعت گرد ۸ عدده و تو یه لایه خارجی تر این اندازه ۱۳ (حاصل جمع ۵ و ۸) و در جهت پاد ساعت گرده. اگه به داخل برید این اندازه به ۵ و بعد ۳ و ۲ و ۱ کم میشه.

فیبوناچی

زاویه طلایی فیبوناچی

هر چی دنباله فیبوناچی بزرگتر می شه نسبت عدد به عدد قبلی خود به عدد طلایی φ (فی) نزدیکتر می شه. این اندازه تقریباً برابر با ۱٫۶۱۸ه.

نسبت طلایی به اندازه ای مهمه که حتی در طراحی وبسایتا یا لوگوا هم کاربرد داره.

فیبوناچی

مثلا سایت National Geographic از مارپیچ طلایی واسه سایت خود بهره برده.

نمونه های دیگری از کاربرد این موضوع در طراحی لوگوا رو می تونین در تصاویر زیر ببینین:

علائم ریاضی مطرح شده پس از سیستم اعداد مدرن

در کنار تحولی که فیبوناچی تلاش داشت با به کار گیری سیستم اعداد جدید بسازه، ریاضیات نیاز به علامتای دیگری واسه محاسبات داشت. به این منظور علائم زیر معرفی شدن:

  • علامت هم اینکه (+) و منها (-) به وسیله «جوهانس ویدمن»، ریاضیدان آلمانی در سال ۱۴۸۹ معرفی شد.
  • علامت مساوی (=) در سال ۱۵۵۷ به وسیله «رابرت ریکورد» ریاضیدان بریتانیایی معرفی شد.
  • علامت ضرب (X) در سال ۱۶۳۱ به وسیله «ویلیام اوترد» ریاضیدان بریتانیایی اختراع شد.
  • در آخر در ۱۶۵۹ «جوهان ران» ریاضیدانی سوئیسی علامت تقسیم (÷) رو اختراع کرد.

دیگه فعالیتای فیبوناچی

فیبوناچی هم اینکه کتابای دیگری رو به رشته تحریر در آورد. بعضی از این کتابا به طور خاص واسه ریاضیدانان بخش ریاضی محض نوشته شده بودن. علاوه بر این مدرسه ریاضیدانان توسکان رو تأسیس کرد. از بقیه نوشته های فیبوناچی میشه به این موارد اشاره کرد:

  •  سال ۱۲۲۳: «هندسه عملی» که ترکیبی از ریاضیات محض، قضیه ها، اثباتا و کاربرده های عملی واسه هندسه از جمله به کار گیری شباهت مثلثا واسه محاسبه ارتفاع وسایل بلند بود.
  • سال ۱۲۲۵: راه حلایی واسه تعدادی مسئله زور
  • سال ۱۲۲۵: «کتاب مربعا» که کتابی واسه تئوری اعداد ریاضی بود و راهکارهایی واسه معادله چند جمله ای با متغیرهای درست ارائه می داد. در این کتابه که مشخص می شه ایده های ریاضیات فیبوناچی چقدر موفق بوده.
  • در تاریخ نامشخص: کتابی که به تشریح ریاضیات تجاری می پرداخت.
  • در تاریخ نامشخص: تفسیری بر کتاب اصول اقلیدس که حالا هیچ نسخه ای از این کتاب وجود نداره.

پایان زندگی فیبوناچی

در مورد پایان زندگی فیبوناچی اطلاعات چندانی در دسترس نیس. تنها میدونیم که تا سال ۱۲۴۰ میلادی زندگی کرده، وقتی که در حدود ۷۰ سال داشته.

باحال اینکه روز ۲۳ نوامبر به نام روز فیبوناچی شناخته می شه، چون که روز ۲۳ از ماه ۱۱ سال و مشابه با شروع سری فیبوناچی (۳-۲-۱-۱) است.