ماتریس انتقال

می‌شود:
S(r,z)=Q_° exp(-(2r^2)/〖ω(z)〗^۲ ) exp⁡(-αz) (2-13)
که در این رابطه Q_° ثابت بهنجارش و α ضریب جذب محیط است. با فرض اینکه در این فرآیند کمر پرتو دمش۲۳ مقداری ثابت است (ω(z)≈ω_p) می‌توان با استفاده از شرط مرزی رابطه (۲-۱۰)، دما را در بلور لیزر را برای حالت پایا۲۴به صورت زیر محاسبه کرد]۲۷[:
T(r,z)=(2〖 p〗_˳ α η K exp⁡(-αz))/(2π r_˳ h (1-exp⁡(-αl) ) ) exp⁡(-(۲〖 r〗_˳^۲)/(ω_p^2 ))+T_C (2-13)
در این رابطه 〖 p〗_˳توان دمش ورودی به میله لیزر، r˳شعاع میله لیزر، α ضریب جذب ماده فعال، η درصد جذب گرمایی۲۵ و T_C=296 K است.
۲-۴-۲ فاصله‌ی کانونی عدسی گرمایی القایی در میله لیزری با دمش از انتها
به علت ایجاد گرمای زیاد و به وجودآمدن گرادیان دمایی در محیط فعال لیزر، ضریب شکست در نقاط مختلف محیط، مقدارهای متفاوت خواهد داشت. این تفاوت مقدار سبب تغییر فاز باریکه لیزر به هنگام عبور از داخل این محیط خواهد شد. تغییر فاز به وجود آمده برای یک‌بار عبور پرتو از این محیط، به صورت رابطه زیر خواهد بود]۲۸[:
∆∅(r)=∫_۰^l▒〖k ∆n(r,z) dz〗 (۲-۱۴)
که در آن l طول میله لیزر، ∆n(r,z) تغییرات ضریب شکست ناشی از اثرات گرمایی و k عدد موج در خلأ است. تغییر در ضریب شکست معمولاً به سه علت اتفاق می‌افتد]۲۸[:
تغییر در ضریب شکست به علت وجود گرادیان دمایی در محیط، این تغییر به صورت زیر صورت می‌گیرد:
(۲-۱۵) ∆n(r,z)=dn/dT ∆T(r,z)
ایجاد تنش القایی
تغییر شکل میله لیزر در اثر گرادیان دمایی
یکی دیگر از مهم ترین اثرات گرمایی در محیط فعال، عدسی-گونه‌شدن این محیط‌ها می‌باشد. به این معنا که وجود اختلاف فاز برای باریکه لیزر در جهت شعاع، می‌تواند به این معنی باشد که محیط فعال به مانند یک عدسی همگرا عمل می‌کند و می‌توان برای آن فاصله کانونی در نظر گرفت. رابطه بین اختلاف فاز و فاصله کانونی عدسی گرمایی را می‌توان به صورت زیر در نظرگرفت]۲۸[:
∆∅=(k r^2)/(2 f) (2-16)
که در آن k عدد موج است و f فاصله کانونی مؤثر عدسی گرمایی القایی می‌باشد. با توجه به روابط (۲-۱۳) و (۲-۱۴) فاصله کانونی عدسی گرمایی برای یک میله لیزری تحت دمش انتهایی و دارای نیمرخ گاوسی به صورت زیر محاسبه می‌شود]۲۷[:
f=(π K ω^۲)/(η P(dn⁄dT) )(1/(1-exp⁡(-αl)))(2-17)
همانطور که مشاهده می‌شود، فاصله کانونی عدسی گرمایی با مجذور کمر پرتو دمش نسبت مستقیم و با توان دمش نسبت عکس دارد و همین‌طور به شعاع میله لیزر بستگی ندارد.

شکل ۲-۶ نمایی از سطح مقطع میله لیزری با دمش جانبی از سه طرف]۲۸[.
۲-۵ تأثیر گرما بر عملکرد لیزر حالت جامد دمش از پهلو
۲-۵-۱ توزیع دما در میله لیزری دمش از پهلو
سطح مقطع میله لیزری که از پهلو دمیده می‌شود در شکل (۲-۶) نشان داده شده است. با دمش میله لیزری، گرمای Q درون محیط فعال لیزر ایجاد می‌شود. گرمـای ایجـاد شـده درون میله لیزری توسط سیستم خنک کننده به خارج از آن انتقال می‌یابد. بنابراین فرض‌ می‌شود که:
چشمه گرمایی در تمام سطح مقطع میله لیزری دارای نمایه گاوسی باشد.
عمل خنک‌سازی به طور یکنواخت و با نرخ ثابت روی تمام سطح جانبی بلور انجام شود.
تغییرات گرما فقط به صورت شعاعی باشد.
با در نظرگرفتن این فرض‌ها، معادله گرما در میله لیزری به صورت رابطه زیر تعریف می‌شود:
∇G(r,z)=Q(r,z) (2-18)
که در آنG شار گرمایی۲۶ و Q مقدار گرما تولید شده در محیط فعال لیزری است. رابطه‌ای که توزیع دما درون میله لیزر را توصیف می‌کند به صورت زیر بیان می‌شود:
G(r)=-K ∇ T(r) (2-19)
با انجام عملیات جبری و حل معادله دیفرانسیل بالا، اختلاف دما نسبت به مرکز میله به صورت زیر محاسبه شده است]۲۸[.
∆T(r)=S_ph/(4π K) [Ln((r_˳^۲)/r^2 )+∫_((۲r_°^۲)/(ω_p^2 ))^∞▒exp⁡(-t)/t dt+∫_((۲r_ ^2)/(ω_p^2 ))^∞▒(exp⁡(-t))/t dt] (2-20)
در این رابطه r_˳^ شعاع میله لیزر، ω_p^ کمر پرتو دمش، K ضریب رسانندگی گرمایی بلور لیزر و S_ph کسری از توان دمش است که به گرما تبدیل می‌شود. اختلاف دما بین سطح جانبی میله و مایع خنک‌کننده، باعث انتقال گرما از بلور بـه مـایع می‌شود. اما بعد از گذشت زمان از این انتقال گرما، تعادل دمایی در بلور برقرار می‌شود. در این حالت مقدار توان اتلافـی p_ph در میلـه، با مقدار گرمای منتقل شده از سطح میله لیزری برابر می‌شـود، لذا مـی‌توان تـوان گرمایی تلف شده در میله لیزری را به صورت رابطه زیر بیان کرد]۲۳[.
p_ph=2π r_° h l (T(r_° )-T_f) (2-21)
که در آن T_f دمای مایع خنک‌کننده، h ضریب انتقال گرما در سطح میله است.
۲-۵-۳ فاصله‌ی کانونی عدسی گرمایی القایی در میله لیزری با دمش از پهلو
برای حالتی که دمش میله لیزری از پهلو صورت می‌گیرد، تغییر در ضریب شکست میله لیزر به صورت رابطه زیر است]۲۳[:
n(r)=n_°+∆n〖(r)〗_T+∆n〖(r)〗_ε (۲-۲۲)
که در آن n_° ضریب شکست مرکز میله، ∆n〖(r)〗_T تغییرات ضریب شکست به علت وجود گرادیان دمایی در میله و ∆n〖(r)〗_ε تغییرات شعاعی ضریب شکست ناشی از تنش است. تغییرات ضریب شکست ناشی از تنش گرمایی، خاصیت دوشکستی القایی را در میله لیزری به وجود می‌آورد. در لیزرهای حالت جامد دمش از پهلو، دوشکستی القایی
روی ساختار و کیفیت پرتو خروجی تأثیر می‌گذارد. این اثر را می‌توان توسط کاواک‎های مرکب جبران کرد]۲۳[. تغییرات ضریب شکست ناشی از تنش در دو جهت شعاعی و زاویه‌ای به صورت زیر بیان می‌شود]۲۳[.
∆n〖(r)〗_ϵ=-Q/2K n_°^۳ α C_r r^2 (2-23)
∆n〖(φ)〗_ϵ=-Q/2K n_°^۳ α C_φ r^2 (2-24)
که C_(r, φ) ضرایب فوتوالاستیک بلور Nd:YAG در جهت شعاعی و زاویه‌ای هستند. مقادیر این ضرایب در مراجع استاندارد به صورت زیر در نظر گرفته می‌شوند]۲۳[:
C_r=0.017 , C_φ=-۰.۰۰۲۵ (۲-۲۵)
با توجه به کوچک بودن این مقادیر، سهم تغییرات ضریب شکست ناشی از تنش گرمایی ناچیز است، بنابراین در محاسبه فاصله‌ی کانونی عدسی گرمایی معمولا از آن صرفنظر می‌شود. تغییرات ضریب شکست ناشی از وجود اختلاف دما به صورت زیر بیان می‌شود:
∆n〖(r)〗_T=dn/dT(T(r)-T(r_°)) (۲-۲۶)
در رابطه‌ی بالا، dn/dT ضریب گرمایی بلور است که خاصیت ذاتی و حرارتی بلور را نشان می‌دهد. این ضریب برای بلورهای همسانگرد نظیر Nd:YAG همواره عددی مثبت و برابر با مقدار ۷.۳×〖۱۰〗^(-۶) K^(-1) است. مثبت بودن dn/dT یعنی در نواحی نزدیک به مرکز میله لیزری دما بیشـتر اسـت و ایـن ناحیـه از لحـاظ نـوری چگـال‌تر از بقیـه نواحی میله است. بنابراین هر چه به مرکز میله لیزری نزدیکتر شویم، ضریب شکست بزرگتر می‌شود و میله لیزری مانند یک عدسی گرمایی عمل می‌کند. در ضمن تغییر فاز به وجود آمده در اثر تغییر ضریب شکست ناشی از گرادیان دمایی به صورت رابطه زیر بیان می‌شود]۲۸[:
∆∅_f=(k p_ph )/(2 π K ω_P^2 ) dn/dT 〖 r〗^۲ (۲-۲۷)
که K ضریب رسانندگی گرمایی بلور، k عدد موج و p_ph توان گرمای اتلافی است که از رابطه‌ی (۲-۲۰) بدست می‌آید. وجود اختلاف فاز برای باریکه در جهت شعاع به این معنی است که محیط فعال به صورت یک عدسی همگرا عمل می‌کند که می‌توان فاصله کانونی آن را محاسبه کرد. ارتباط اختلاف فاز و فاصله کانونی عدسی به صورت رابطه زیر بیان می‌شود:
∆∅_f=(k 〖 r〗^۲)/(۲ f) (2-28)
بنابراین برای یک میله لیزری که توسط یک لیزر از پهلو دمیده می‌شود، فاصله کانونی عدسی گرمایی از رابطه زیر بدست می‌آید]۲۸[:
f=(A K)/(p_ph (dn/dT)) (2-29)
که در این رابطه A=πω_P^2 مساحت مقطع پرتو گاوسی است.

  آزمون های آماری

فصل سوم:

مدل گرمایی پرتوهای کسینوس-گاوس و سهموی-گاوس، مقایسه تأثیر گرما بر تولید پرتوهای هلمهولتز-گاوس

۳- مدل گرمایی پرتوهای کسینوس-گاوس و سهموی-گاوس، مقایسه تأثیر گرما بر پرتوهای هلمهولتز-گاوس

۳-۱ مقدمه
در لیزرهای حالت جامد پرتوان، باید به اهمیت و نقش گرمای تولید شده در کاواک، توجه ویژه‌ای شود، زیرا در این لیزرها، بخش عمده ای از انژری دمش در بلور از بین می‌رود و تبدیل به گرما می‌شود. تولید گرما در مواد لیزری حالت جامد، اثرات مهمی بر عملکرد لیزرها دارد و تخمین مقدار گرمای تولیدشده در میله لیزری در مشخص‌کردن اندازه بلور، توان خروجی، بازده لیزر و نوع سیستم خنک‌کننده لیزر کاربرد و اهمیت دارد. بنابراین بررسی اثرات گرمایی در سیستم‌های اپتیکی و لیزری بسیار حائز اهمیت است]۲۹[. علی‌رغم مزیت‌هایی که لیزرهای حالت جامد با دمش انتها دارند]۳۰[، تمرکز پرتو دمش در یک طرف بلور لیزر، منجر به جذب انرژی بالایی می‌شود و در نتیجه بلور لیزری تحت تأثیر گرمای تولید شده قرار گرفته و باعث ایجاد تنش گرمایی و در نتیجه ایجاد عدسی گرمایی۲۷ در آن می‌شود. بنابراین اعوجاج، کاهش کیفیت پرتو به خاطر عدسی-گونه شدن و افت واقطبیدگی ناشی از دو شکستی القا شده توسط تنش، از جدی‌ترین مسائل اثرات گرمایی است]۳۱,۳۲[. تنش ناشی از اثرات حرارتی حتی می تواند به شکست بلور لیزر منجر شود. به طور کلی پرتوهای خاص خانواده هلمهولتز-گاوس۲۸ به چهار دسته پرتو بسل-گاوس۲۹، ماتیو-گاوس۳۰، کسینوس-گاوس۳۱، سهموی-گاوس۳۲ طبقه‌بندی می‌شوند. پرتوهای هلمهولتز-گاوس به میدان‌های پیرامحوری که توزیع عرضی آن‌ها شامل یک پرتو ایده‌آل ناپراشیده۳۳ و یک تابع گاوسی است، اطلاق می‌شوند. چندین جواب ناپراشیده برای معادله موج گزارش شده است که می‌توان به پرتوهای کسینوسی در مختصات دکارتی، پرتوهای ماتیو در مختصات استوانه‌ای بیضوی، پرتوهای بسل در مختصات استوانه‌ای دوار و پرتوهای سهموی در مختصات استوانه‌ای سهموی اشاره کرد]۲۹[،]۳۲-۳۴[. به دلیل اینکه این پرتوها در هنگام انتشار در خلأ، توزیع شدت عرضی آن‌ها بدون تغییر باقی می‌ماند آن‌ها را پرتوهای ناپراشیده می‌نامند. این پرتوهای خاص دارای ویژگی‌ها و کاربردهای فراوانی هستند که می‌توان به اصلاح ضریب شکست گازها]۳۵,۳۶[، هدایت و تمرکز ذرات باردار]۳۷,۳۸[، توموگرافی همدوس اپتیکی۳۴ ]۳۹[، دستکاری به شکل اپتیکی ذرات زنده و غیرزنده]۴۰-۴۲[ و بررسی سطوح بازتاب کننده با کمک تداخل سنجی ]۴۳[ اشاره نمود، همچنین این پرتوها در اپتیک غیرخطی نیز کاربرد دارند]۴۴-۴۶[. خصوصیات انتشاری پرتوهای خانواده هلمهولتز-گاوس از جمله پرتوهای بسل-گاوس، کسینوس-گاوس و ماتیو-گاوس در فضای آزاد و در سیستم‌های اپتیکی پیرامحوری که با ماتریس‌های انتقالABCD مشخص می‌شوند، به‌طور جامع مورد مطال
عه و بررسی قرار گرفته است]۳۳[، ]۴۷-۵۰[.
در این فصل، ابتدا پرتوهای خانواده هلمهولتز-گاوس معرفی می‌شوند، سپس تأثیر گرما بر تولید پرتوهای خاص کسینوس-گاوس و سهموی-گاوس بررسی می‌شود، لذا از یک مدل گرمایی که یک محیط با ضریب شکست متغیر را توصیف می‌کند، استفاده می‌شود و در پایان، به بررسی و مقایسه میزان تأثیر گرما بر تولید چهار پرتو خاص خانواده هلمهولتز-گاوس پرداخته می‌شود.
پرتوهای هلمهولتز-گاوس
میدان مختلط یک پرتو خاص مربوط به خانواده هلمهولتز-گاوسH_1 (r ⃗_۱;k_1 )، در صفحه ورودیZ=Z1 مربوط به یک سیستم اپتیکی پیرامحوری با ماتریس انتقال ABCD را می‌توان به‌صورت زیر تعریف کرد]۳۰[:
〖H_1 (r ⃗_۱;k_1 )=exp〗⁡(-〖r_1〗^۲/ω^۲ )F(r ⃗_۱;k_1 ) (3-1)
که در آ ن (r_1 ) ⃗=(x_1,y_1 )=(r_1,φ) مختصات عرضی را نشان می‌دهد و ω_ کمر پوش گاوسی و k1 عدد موج عرضی است. در این حالت F(r ⃗_۱;k_1 )توزیع عرضی یک پرتو ناپراشیده ایده‌آل است که در معادله زیر صدق می‌کند:
(∂^۲/(∂x^2 )+∂^۲/〖∂y〗^۲ +k_1^2)F_ (r ⃗_۱;k_1 )=0 (3-2)
جواب معادله‌ بالا را می‌توان بر حسب برهم نهی امواج تخت بسط داد و به‌صورت زیر بیان کرد:
F(r_1,κ_۱)=∫_(-π)^π▒〖A(φ)exp⁡(iκ_۱ (x cos φ+y sin⁡φ )dφ〗 (۳-۳)
که در این رابطه A(φ) یک طیف زاویه‌ای اختیاری۳۵ از پرتو ناپراشیده است. با استفاده از انتگرال پراش هویگنس، می‌توان توزیع عرضی یک پرتو خانواده هلمهولتز-گاوس در صفحه خروجی مربوط به یک سیستم اپتیکی ABCD را به‌صورت زیر نوشت]۳۱[:
U(r_2 )=exp⁡((ikr_2^2)/(2q_2

این نوشته در پایان نامه ها و مقالات ارسال شده است. افزودن پیوند یکتا به علاقه‌مندی‌ها.

دیدگاهتان را بنویسید