در بعضی از نظام های آموزشی، “ریاضیات” به شکلی به طور کامل ذهنی تدریس شده و علم آموز یا دانشجو درک کاملی از مفاهیم این علم کاربردی ندارن. شاید همین عامل باعث شده که مباحث ریاضی، خسته کننده به نظر برسن. در ادامه با ما همراه باشین تا با کاربرده های ۱۷ معادله ی ریشه ای ریاضی آشنا شیم.
به گزارش آلامتو به نقل از ؛ در سال ۲۰۱۲ “یان استوارت” تحقیقات گسترده ی خود رو به صورت کتابی به نام “در تعقیب نامعلوم ها: ۱۷ معادله ای که دنیا رو عوض کرد” منتشر کرد. در کتاب استوارت، اساسی ترین معادلات ریاضی، جمع بیاری شده ان و بیشتر از بحث های ریاضی وار، به جنبه و کاربرد اون ها در زندگی آدم پرداخته شده .
استوارت می گوید: “معادلات ریاضی بعضی وقتا خسته کننده و پیچیده به نظر می رسند و دلیلش هم اینه که با روش های پیچیده و خسته کننده ای بیان شده ان.”
اون در ادامه ی توضیحات خود اضافه می کنه که ؛هر کسی می توانداز زیبایی و مهم بودن این معادلات تشکر کنه بدون این که روش حل اون ها رو بدونه. هدف از معرفی این معادلات اینه که جایگاه اون ها رو در زندگی آدم درک کنیم و از جنبه های نگفته و مخفی اون ها در تاریخ پرده ورداریم.”
ایشون گفت:”این معادلات، بخش حیاتی و مهم فرهنگ ما هستن. چون که هر کدوم از اون ها داستانی به همراه خود دارن. این داستان های جذاب درباره ی افرادیه که اون ها رو کشف کرده ان و انگار شرایط وقتی اون دوران رو بیان بازگو می کنن.”
این ۱۷ معادله عبارت هستن از:
۱. قضیه ی فیثاغورس
معنی: مربع وتر یه مثلث قائم الزاویه برابر با کل مربعات دو ضلع دیگه اون هستش.
گذشته: هر چند که کشف این قضیه به فیثا غورس نسبت داده شده اما یافته ها نشون دهنده اون هستش که فیثا غورس اولین کسی نیس که این رابطه رو اثبات کرده. اولین فردی که می توان کشف این قضیه رو به اون نسبت داد “اقلیدس” است. ضمن این که این احتمال هست که این قضیه بوسیله بابلی های ۱۰۰۰ سال قبل از فیثا غورس هم کشف شده باشه.
اهمیت: این معادله، هندسه رو با زور پیوند می دهد و پایه علم “مثلثات” حساب می شه. بدون در نظر گرفتن این معادله، مواردی مثل نقشه ورداری دقیق، نقشه سازی و مسیریابی، اموری غیرممکن بودن.
از دید ریاضی محض، قضیه ی فیثا غورس، تو یه فضای اقلیدسی تعریف شده. مثلا، این قضیه در مورد یه مثلث قائم الزاویه که روی سطح یه کره پخش شده، صدق نمی کنه.
کاربرده های مدرن: این روزا از راه “مثلث سازی” واسه افزایش دقت مکان یابی در GPS استفاده می شه.
۲. معادله ی لگاریتمی
معنی: با این معادله می تونید از طریق ی عملیات حاصل جمع، اعداد رو در هم ضرب کنین.
گذشته: معنی اولیه ی این معادله بوسیله “جون نپر” که یه ملاک اسکاتلندی بود، کشف شد. اون بیشتر اوقات تلاش می کرد که اعداد بزرگ رو در هم ضرب کنه و این کار واسه اون وقت گیر و خسته کننده بود. بعدا “هنری بریگز” به خاطر ساده سازی این محاسبات، جداول مرجعی رو تنظیم کرد.
اهمیت: ظهور لگاریتم در ریاضیات منتهی به یه انقلاب شد و محاسبات مهندسین و ستاره شناسا رو سریع تر و ساده تر کرد. هر چند که با روی کار اومدن رایانه ها این محاسبات سریع تر از قبل انجام می شن اما این معادلات جایگاه خود رو در میان معادلات ریشه ای حفظ کرده ان.
کاربرده های مدرن: معادلات لگاریتمی و توابع نمایی در مدل سازی خیلی از پروسه ها مانند رشد بیولوژیکی و ویرانی مواد رادیواکتیو استفاده می شن.
۳. حساب دیفرانسیل (کلکول)
معنی: این معادلات کمک می کنن که اندازه تغییرات در هر لحظه محاسبه شه.
گذشته: معادلات حساب دیفرانسیل در اواخر قرن هفدهم، هم زمان بوسیله “ایزاک نیوتون” و “گوتفرید لایبنیتس” تعریف شد. البته یه بحث و دعوای طولانی که کدوم یکی از اون ها زودتر این رابطه رو کشف کرده ان وجود داشت و هیچ وقت هم نتیجه ای از این اختلافات حاصل نشد. پس منطق حکم می کنه که هر دو نفر به عنوان کاشفین این معادله در نظر گرفته شن.
اهمیت: بنا به گفته ی استوارت: “این معادله بیشتر از این که یه فوت وفن ریاضی باشه، نقش زیادی در پیدایش دنیای مدرن اجرا کرده.”فهم حساب دیفرانسیل واسه درک ما از اندازه گیری های مربوط به منحنی ها و سطوح، لازمه. ضمن این که این معادلات مبنای خیلی از قوانین طبیعت هستن.”
کاربرده های مدرن: کاربرد این معادلات در مسائل ریاضی که نیاز به جواب بهینه و مطلوب دارن لازمه. علاوه براین از این معادلات در حل مسائل مربوط به پزشکی، اقتصاد، فیزیک، مهندسی و علوم رایانه استفاده می شه.
۴. قانون جهانی گرانش نیوتن
معنی: این رابطه، نیروی گرانش بین دو جسم رو محاسبه می کنه.
گذشته: ایزاک نیوتن قوانین خود رو بر مبنای تحقیقات “کپلر” که یه ستاره شناس آلمانی بود، استخراج کرده. ضمن این که این احتمال هست که این قوانین رو “رابرت هوک” کشف کرده باشه و نیوتن به یه سرقت علمی دست زده باشه.
اهمیت: قانون جهانی گرانش با به کار گیری فوت وفن هایی مثل معادلات دیفرانسیل می تونه وضعیت کلی دنیا رو توضیح بده. با این که بعدا قانون نسبیت انیشتین جانشین این قانون شد، هنوزم در توضیحات علمی مربوط به اثرات برهم عمل اجرام فضایی مانند ستارگان، سیارات، فضاپیماهای ساخته ی بشر، این معادله کاربرد داره. امروزه از قانون جهانی گرانش واسه طراحی مدارهای چرخش ماهواره ها و سفینه ها هم استفاده می شه.
از لحاظ فلسفی، قانون نیوتن مهمه چون که نیروی جاذبه رو در همه جا محاسبه می کنه. یعنی، از توپی که به زمین می افتد تا تکامل کهکشون ها، از این قانون پیروی می کنن.
کاربرده های مدرن: قوانین نیوتن با تئوری های انیشتین تکمیل شد. قانون گرانش هنوزم یه رابطه ی کاربردی و به درد بخور در مود اجرام فضایی حساب می شه.
۵. اعداد جداسازی نشده
معنی: ریاضی دان ها واسه قابل قبول ساختن اعداد منفی زیر رادیکال، اعداد جداسازی نشده رو معرفی کردن.
گذشته: اعداد موهومی یا جداسازی نشده بوسیله ریاضی دان و قمارباز معروف به نام “جرلامو کارنادو” کشف شد و بعد از طریق ی آدمایی چون “رافائل بامبلی” و “جون والیس” به شکل گسترده تری مطرح شد.این اعداد بازم عجیب و غریب به نظر می اومدن تا این که “ویلیام همیلتون” اون ها رو تعریف کرد.
مبحث اعداد جداسازی نشده در ریاضیات بسیار جالبه. با معرفی اعداد جداسازی نشده دیگه تموم معادلات جبری جواب دارن. مثلا معادله ای مثل x2 + 4 = 0 جواب حقیقی نداره اما دارای ریشه ی جداسازی نشده رادیکال ۴- یعنی ۲iه.
اهمیت: بنا به گفته ی استوارت: “… بیشتر فناوری های مدرن، از روشنایی الکتریکی گرفته تا دوربین های دیجیتال، بدون وجود اعداد جداسازی نشده هیچ وقت اختراع نمی شدن.” توابع جدا پذیر با مقادیر جداسازی نشده، شاخه ای دیگه از ریاضیات به نام “بررسی جداسازی نشده” رو ساختن که فهم اون واسه درک سیستم های الکتریکی و شکل های جور واجور الگوریتم های مدرن پردازش داده ها لازمه.
کاربرده های مدرن: اعداد جداسازی نشده در مهندسی برق و نظریه های ریاضی استفاده های گسترده ای دارن.
۶. قضیه ی چندوجهی اویلر
معنی: این قضیه یه رابطه ی عددی رو توضیح می دهد که درباره ی همه اشکال جامد از نوع خاص، صادقه.
گذشته: قضیه ی چندوجهی اویلر بوسیله ریاضی دان بزرگ قرن هجدهم که “لئونارد اویلر” نام داشت، مطرح شد. همونجوریکه می دانیم چندوجهی ها نسخه ی سه بعدی از چندضلعی ها هستن.
یه مکعب دارای ۸ راس، ۱۲ لبه و ۶ وجهه. اگه وجوه یه مکعب رو از رئوس اون به هم بچسبونیم و لبه ها رو حذف کنیم، داریم: ۲=۱۲-۶+۸.
قضیه ی اویلر واسه چندوجهی هایی که حاصل جمع برتری لبه ها از حاصل جمع رئوس و وجوه اونا ۲ باشه، قابل کاربرده.
اهمیت: این قضیه پایه محاسبات مربوط به توپولوژیه.
کاربرده های مدرن: توپولوژی در فهم رفتار و کارکرد DNA به کار می رود و یه بخش اساسی از وسایل ریاضی واسه درک شبکه های اجتماعی و اینترنت حساب می شه.
۷. پخش طبیعی
معنی: این رابطه یه پخش طبیعی استادارد رو تعریف می کنه که به شکل یه نمودار زنگی شکله و نشون می دهد که داده ها نسبت به میانگین چقدر انحراف دارن.
گذشته: قدم اولیه ی ایجاد این نمودار بوسیله “بلز پاسکال” انجام شد اما بخش پخش اون رو برنولی به نتیجه رساند. در آخر منحنی زنگی شکل فعلی که اون رو در نمودارهای پخش مشاهده می کنیم، حاصل کار ریاضی دان بلژیکی به نام “آدولف کوتله” است.
اهمیت: این معادله، پایه “آمار مدرن” رو تشکیل می دهد. بدون آمار مدرن دیگه خبری از علوم اجتماعی نبود. طراحی آزمایش های آماری، وابسته به نمودار پخش طبیعیه و کمک می کنه تا واسه مدل کردن پارامترهای تصادفی از این نمودار استفاده شه.
کاربرده های مدرن: واسه تعیین دز موثر دارو در مقاصد درمانی به کار می رود.
۸. معادله ی موج
معنی: معادله ی موج یه معادله ی دیفرانسیلیه که رفتار امواج رو توصیف می کنه. واسه نمونه می توان رفتار ارتعاشی یه رشته ویولن رو مثال زد.
گذشته: “دالامبر” و برنولی اولین ریاضی دان هایی بودن که در قرن هجدهم این رابطه رو با کمی فرق کشف کردن.
اهمیت: رفتار موجی، به رخدادهای صوتی هم گسترش داده شد. از این رو معادله ی موجی می تونه رفتارهایی مثل زمین لرزه و امواج اقیانوس ها رو توجیه کنه.
کاربرده های مدرن: شرکت های نفتی با تنظیم مواد منفجره، داده های حاصل از انقجار رو از امواج صوتی استخراج می کنن تا ساختارهای زمین شناسی رو پیش بینی کنن.
۹. تبدیل فوریه
معنی: توصیف الگوهای وقتی به عنوان تابعی از فرکانس.
گذشته: “جوزف فوریه” این معادله رو کشف کرد و از راه راه حل معروف خود اون رو به شکل یه معادله ی دیفرانسیل گسترش داد که جریان گرمایی و معادله ی موج رو در بر می گرفت.
اهمیت: این معادله واسه الگوهای پیچیده ی موجی مثل موسیقی، گفتار یا تصاویر هم قابل استفاده س. این معادله در تحلیل و بررسی خیلی از شکل های جور واجور سیگنال ها هم کارآیی داره.
کاربرده های مدرن: واسه فشرده سازی اطلاعات تصاویر به شکل JPEG و کشف ساختارهای مولکولی از تبدیل فوریه استفاده می شه.
۱۰. معادلات ناویر-استوکس
معنی: معادلات ناویر استوکس، پایه روابط مربوط به حرکت سیالات رو تشکیل می دهد. سمت چپ معادله اندازه تغییرات سرعت روون طبق زمان رو نشون می دهد و سمت راست اون به نیروهایی که بر روون وارد می شه، دلالت داره.
گذشته: لئونارد اویلر اولین کسی بود که حرکت سیالات رو مدل سازی کرد. یه مهندس فرانسوی به نام “کلود-لوئی ناویر” به همراه “جرج استوکس” که یه ریاضی دان ایرلندی بود این مدل سازی رو به شکل امروزی خود درآوردند.
اهمیت: از اون جا که رایانه ها قدرت پردازش کافی واسه حل تقریبی این معادلات رو دارن، معادلات ناویر- استوکس جایگاه موثر و بااهمیتی در فیزیک پیدا کرده ان.از جمله ی این کاربرده ها می توان به ساخت وسایل نقلیه ی آئرودینامیکی اشاره کرد.
هر چند که رایانه های مدرن با مثل سازی های تقریبی خود می تونن جواب به درد بخور و قابل قبولی رو در مهندسی ارائه کنن اما پیدا کردن یه راه حل ریاضی که جواب دقیق رو به ما بده بازم به شکل یه صورت مسئله ی باز باقی مونده و پیدا کردن راه حل اون، جایزه ای برابر یه میلیون دلار رو به همراه داره!
کاربرده های مدرن: از این رابطه واسه پیشرفت ی جت های مسافربری استفاده می شه.
۱۱. معادلات ماکسول
معنی: این معادلات بین پارامترهای الکتریکی و میدون های مغناطیسی رابطه برقرار می کنن.
گذشته: “مایکل فارادی” از اولین آدمایی بود که به رابطه بین الکتریسیته و مغناطیس پرداخت و “جیمز ماکسول” این روابط رو به شکل معادله بازگو کرد.معادلات ماکسول در مواردی چون الکترومغناطیس سنتی، قوانین حرکت نیوتن و مکانیک سنتی کاربرد دارن.
اهمیت: با درک امواج الکترومغناطیسی، می توان به مدرن ترین فناوری های مربوط به بخش ی برق و الکترونیک رسید.
کاربرده های مدرن: رادار، تلویزیون و وسایل ارتباطی مدرن از جمله کارآیی های مدرن معادلات ماکسول حساب می شن.
۱۲. قانون دوم ترمودینامیک
معنی: در تموم پروسه های ترمودینامیکی با اتلاف انرژی و گرما مواجه هستیم.
گذشته: “سعدی کارنو” اولین کسی بود که فرضیه ی “برگشت ناپذیری پروسه های طبیعت” رو مطرح کرد. پس ازآن ریاضی دانی به نام “لودویگ بولتزمن” این فرضیه رو گسترش داد و “ویلیام تامسون” اون رو به شکل رسمی اعلام کرد.
اهمیت: قانون دوم ترمودینامیک از راه معنی انتروپی، درک صحیحی از انرژی و جهان هستی القا می کنه. در واقع، اندازه بی نظمی یه سیستم بوسیله ملاک انتروپی اندازه گیری می شه.اختلاف شرایط دمایی یکی از عواملیه که به افزایش بی نظمی دامن می زند. مثلا، سیستم گرمی که در نزدیکی یه سیستم سرد قرار گرفته تمایل داره که گرما رو به صورت خود به خود از سیستم گرم به سیستم سرد منتقل کنه تا هر دو سیستم به تعادل برسن.
کاربرده های مدرن: ترمودینامیک ابزاری واسه درک بهتر شیمی حساب می شه و فهم اون واسه شناخت ساختمون یه نیروگاه یا موتور الکتریکی لازمه.
۱۳. نظریه ی نسبیت انیشتین
معنی: انرژی و ماده، دو روی یه سکه هستن.
گذشته: پیدایش نظریه ی نسبیت انیشتین براساس ی آزمایش های “آلبرت مایکلسون” و “ادوارد مورلی” انجام شد. مایکلسون و مورلی در یافته های خود به این نتیجه رسیدن که حرکت نور از راه نیوتنی پیروی نمی کنه و سرعت نور جداگونه از سرعت منبعه.انیشتین این دیدگاه رو در مقالات معروف خود در سال ۱۹۰۵ به صورت نسبیت خاص و در سال ۱۹۱۵ به صورت نسبیت عام منتشر کرد.
در نسبیت خاص، گذشت زمان واسه همه ی افراد برابر نیس و بستگی به اندازه سرعت حرکت اون ها داره.
در نسبیت عام، نیروی جاذبه در فضایی به شکل یه منحنی خمیده شکل فرض می شه که به گذشت زمان وابسته. این نکته اولین تغییر کلی ایه که نسبت به قانون نیوتن مشاهده می شه. فهم نسبیت عام واسه درک بهتر منشاء، ساختار و سرنوشت پایانی جهان مادی لازمه.
اهمیت: این معادله، تقریبا معروف ترین معادله ی تاریخ حساب می شه که تونسته نگاه ما رو نسبت به ماده به طور کامل عوض کنه.
کاربرده های مدرن: از این معادله واسه مسیریابی GPS و ساخت اسلحه های هسته ای استفاده می شه.
۱۴. معادله ی شرودینگر
معنی: معادله ی شرودینگر یکی از بنیادی ترین معادلات علم فیزیک به حساب می رود. در این مدل واسه ماده، وجود موجی نسبت به وجود ذره ای ارجحیت داره.
گذشته: “لویی-دوبروی ویکتور” در سال ۱۹۲۴ کشف کرد که ماده، ماهیتی دوگانه داره. معادله ی شرودینگر در سال ۱۹۲۷ بوسیله “اروین شرودینگر” منتشر شد. این معادله سامانه ی حرکت ذرات اتمی و ریزاتمی رو در طول گذشت زمان توصیف می کنه.
اهمیت: معادله ی شرودینگر منتهی به وقوع یه انقلاب در اندازه های کوچیک فیزیکی شد.
مکانیک کوانتومی مدرن و نظریه ی نسبیت عام، از موفق ترین نظریه های علمی در طول تاریخ حساب می شن. تموم مشاهدات تجربی دنیای دور و بر ما با یافته های حاصل از این معادلات سازگاری کامل دارن.
کاربرده های مدرن: مکانیک کوانتومی در مدرن ترین فناوری ها مانند انرژی هسته ای، رایانه های ساخته شده از مواد نیمه رسانا، لیزرها و تموم پدیده های کوانتومی حضور پررنگی داره.
۱۵. نظریه ی اطلاعات
معنی: در این نظریه، اطلاعات حاصل از یه کد که شامل داده ها و علائم احتمالیه، برآورد می شه.
گذشته: پس از جنگ جهانی دوم، این نظریه بوسیله “کلود شانون” در آزمایشگاه معتبر Bell Labs مطرح شد.
اهمیت: شانون معنی انتروپی اطلاعات رو به عنوان یه ملاک واسه اندازه دودلی در رسیدن به یه معنی به حساب آورد. با در نظر گرفتن این فرض، اطلاعات محتواهایی مانند یه کتاب، ارسال یه تصویر با فرمت JPEG روی اینترنت و یا هر مورد دیگری قابل اندازه گیریه. انتروپی شانون نشون می دهد که چیجوری بدون از دست دادن محتوا، می توان اون رو فشرده سازی کرد.
استفاده ی مدرن: نتابج حاصل از اندازه گیری های انتروپی شانون، منتهی به شکل گیری مرکز اصلی شبکه های ارتباطی شد.
۱۶. الگوی لجستیک واسه رشد جمعیت
معنی: این الگو نشون می دهد که رشد جمعیت یه گونه محدود به منابع حیاتیه. نکته ی مهمی که در مورد این پیرو هست، اینه که جواب های اون می تونه به آشوب منجر شه و جواب های بی انتها به دست بیان.
گذشته: در سال ۱۹۷۵ “رابرت می” اولین فردی بود که این مدل رو در رابطه با رشد جمعیت معرفی کرد.
اهمیت: با پیشرفت ی فرضیه ی آشوب، دیدگاه ما تقریبا به این جور مسائل به طور کامل تغییر پیدا کرد و باعث شد که در راه حل اون ها به صورت سیستم های طبیعی عمل شه.
تئوری آشوب واسه خیلی از ما شناخته شده و مثال سنتی اون رو می توان وضعیت آب و هوا دونست. اینطوری که حرکت بال پروانه تو یه قاره می تونه باعث بروز طوفان در قاره ی دیگه شه.
کاربرده های مدرن: از این الگو واسه مدل کردن زلزله و شرایط آب و هوایی استفاده می شه.
۱۷. مدل بلک- شولز
معنی: قرارداده ها، رایج ترین وسایل مالی حساب می شن. از این رو با افزایش درخواست واسه این وسیله مالی، مسئله ی قیمت گذاری قرارداده ها جایگاه بسیار مهمی در اقتصاد داره. ارائه ی مدل بلک-شولز در سال ۱۹۷۳، معادلات دیفرانسیل جزئی رو بیشتر از قبل در مورد ی اقتصاد روش زوم کرد. پس واسه تعیین قیمت این قرارداده ها نیاز به روشی ساده ودقیق واسه حل این معادلات دیفرانسیله.
گذشته: این معادله بوسیله “فیشر بلک” و ” میرن شولز” مطرح شد و بوسیله “رابرت مرتون” پیشرفت پیدا کرد. بعدا جایزه ی نوبل این کشف به هر سه نفر اهدا شد. هر چند که در زمان اهدای جایزه، دو سال از فوت فیشر بلک گذشته بود.
اهمیت: این مدل، الان تونسته که بازار مشتقات چند تریلیون دلاری رو برپا کنه. البته اختلاف نظرهایی هست که به کار گیری این معادله، باعث ایجاد بحران های مالی هم شده. در واقع این معادله، مفروضاتی داره که در بازارهای مالی واقعی صادق نیستن.
کاربرده های مدرن: حتی بعد از وقوع بحران های مالی، بازم از این معادله واسه قیمت گذاری مشتقات استفاده می شه.